A
One of the first great intellectual feats of a young child is learning how to talk, closely followed by learning how to count.
Một trong những kỳ công trí thức đầu tiên của một đứa trẻ là học cách nói chuyện, theo sau đó là học cách đếm.
From earliest childhood we are so bound up with our system of numeration that it is a feat of imagination to consider the problems faced by early humans who had not yet developed this facility.
Từ thời thuở thơ ấu, chúng ta đã gắn bó với hệ thống phép đếm của chúng ta mà đó là một kỳ công của trí tưởng tượng để xem xét những vấn đề mà những con người thời kỳ đầu chưa phát triển được những điều kiện thuận lợi này.
Careful consideration of our system of numeration leads to the conviction that, rather than being a facility that comes naturally to a person, it | is one of the great and remarkable achievements of the human race.
Quá trình xem xét cẩn thận hệ thống số đếm của chúng ta đưa đến sự nhận thức rằng, thay vì là phương tiện mà con người học tập được một cách tự nhiên, đây là một trong những thành tựu vĩ đại và đáng kể nhất của chúng ta.
B
It is impossible to learn the sequence of events that led to our developing the concept of number.
Nghiên cứu chuỗi sự kiện đã đưa đến việc chúng ta phát triển khái niệm về con số là điều bất khả thi.
Even the earliest of tribes had a system of numeration that, if not advanced, was sufficient for the tasks that they had to perform.
Ngay cả những bộ lạc xuất hiện sớm nhất cũng đã có hệ thống số đếm, dù không cao cấp nhưng vẫn đủ cho các nhiệm vụ mà họ phải thực hiện.
Our ancestors had little use for actual numbers; instead their considerations would have been more of the kind “ Is this enough? rather than How many?” when they wereengaged in food gathering, for example.
Tổ tiên của chúng ta rất ít sử dụng đến con số thực sự, thay vào đó họ thường quan tâm đến những điều đại loại như “nó có đủ hay không” hơn là “có bao nhiêu” khi tham gia thu thập thức ăn.
However, when early humans first began to reflect on the nature of things around them, they discovered that they needed an idea of number simply to keep their thoughts in order.
Tuy nhiên, khi con người đầu tiên bắt đầu suy nghĩ về bản chất của sự vật xung quanh họ, họ phát hiện ra rằng họ cần một ý tưởng về con số chỉ để giữ cho suy nghĩ của họ theo thứ tự.
As they began to settle, grow plants and herd animals, the need for a sophisticated number system became paramount.
Khi họ bắt đầu ổn định cuộc sống, trồng cây và chăn nuôi gia súc, nhu cầu về một hệ thống số phức tạp đã trở nên hết sức quan trọng.
It will never be known how and when this numeration ability developed, but it is certain that numeration was well developed by the time humans had formed evensemipermanent settlements.
Không bao giờ biết được làm cách nào và khi nào khả năng đếm được phát triển, nhưng chắc chắn rằng phép đếm đã được phát triển tốt nhờ thời điểm con người đã hình thành ngay cả trước khi những việc định cư tạm thời.
C
Evidence of early stages of arithmetic and numeration can be readily found.
Có thể tìm thấy bằng chứng về các giai đoạn đầu của số học và phép đếm.
The indigenous peoples of Tasmania were only able to count one, two, many; those of South Africa counted one, two, two and one, two twos, two twos and one, and so on.
Những người thổ dân Tasmania chỉ có thể đếm được một, hai, hay nhiều số trở lên; Những người của Nam Phi đếm một, hai, hai và một, hai hai, hai hai và một, vân vân.
But in real situations the number and words are often accompanied by gestures to help resolve any confusion.
Nhưng trong tình huống thực tế số và những từ thường đi kèm với cử chỉ để giúp giải quyết bất kỳ nhầm lẫn nào.
For example, when using the one, two, many type of system, the word many would mean, Look at my hands and see how many fingers I am showing you.
Ví dụ, khi sử dụng một, hai, nhiều loại hệ thống, từ nhiều sẽ có nghĩa là, Hãy nhìn vào bàn tay của tôi và xem có bao nhiêu ngón tay tôi đang giơ cho bạn nhìn.
This basic approach is limited in the range of numbers that it can express, but this range will generally suffice when dealing with the simpler aspects of human existence.
Cách tiếp cận cơ bản này giới hạn trong phạm vi những số lượng mà nó có thể thể hiện, nhưng phạm vi này nói chung sẽ đủ để khi đối phó với các khía cạnh đơn giản của sự tồn tại của con người.
D
The lack of ability of some cultures to deal with large numbers is not really surprising.
Sự thiếu khả năng của một số nền văn hoá để đối phó với những con số lớn không thực sự đáng ngạc nhiên.
European languages, when traced back to their earlier version, are very poor in number words and expressions.
Các ngôn ngữ châu u, khi truy xuất trở lại phiên bản cũ hơn của họ, rất kém từ vựng về số và biểu thức.
The ancient Gothic word for ten, tachund, is used to express the number 100 as tachund tachund.
Từ Gothic cổ cho mười, tachund, được sử dụng để thể hiện số 100 được gọi là tachund tachund.
By the seventh century, the word teon had become interchangeable with the tachund or hund of the Anglo-Saxon language, and so 100 was denoted as hund leonlig, orten times ten.
Vào thế kỷ thứ bảy, từ teon đã trở nên hoán đổi cho nhau bằng tiếng tachund hoặc hund của ngôn ngữ Anglo-Saxon, và do đó 100 được biểu thị là hund leonlig, hoặc mười lần mười.
The average person in the seventh century in Europe was not as familiar with numbers as we are today.
Những người trung lưu trong thế kỷ thứ bảy ở Châu u không quen với những con số như chúng ta ngày nay.
In fact, to qualify as a witness in a court of law a man had to be able to count to nine.
Trên thực tế, để đủ điều kiện làm nhân chứng trong toà án, một người đàn ông phải đếm đến số 9.
E
Perhaps the most fundamental step in developing a sense of number is not the ability to count, but rather to see that a number is really an abstract idea instead of a simple attachment to a group of particular objects.
Có lẽ bước cơ bản nhất trong việc phát triển ý thức về một con số không phải là khả năng đếm được, mà đúng hơn là để thấy rằng một con số thực sự là một ý tưởng trừu tượng thay vì đơn giản là sự gắn bó với một nhóm các đối tượng cụ thể.
It must have been within the grasp of the earliest humans to conceive that four birds are distinct from two birds; however, it is not an elementary step to associate the number 4, as connected with four birds, to the number 4, as connected with four rocks.
Nó phải nằm trong sự hiểu thấu của con người thuở sơ khai nhất để nhận thức được rằng bốn con chim khác biệt với hai con chim; Tuy nhiên, nó không phải là một bước cơ bản để kết hợp với số 4, như là kết nối với bốn con chim, với số 4, như kết nối với bốn tảng đá.
Associating a number as one of the qualities of a specific object is a great hindrance to the development of a true number sense.
Việc liên hệ con số như một trong những đặc tính của sự vật cụ thể là một trở ngại lớn cho sự phát triển của suy nghĩ thật sự về con số.
When the number 4 can be registered in the mind as a specific word, independent of the object being referenced, the individual is ready to take the first step toward the development of a notational system for numbers and, from there, to arithmetic.
Khi số 4 có thể được đăng ký trong tâm trí như một từ cụ thể, độc lập với đối tượng được tham chiếu, mỗi cá nhân đã sẵn sàng để thực hiện bước đầu tiên hướng tới sự phát triển của một hệ thống minh họa bằng đồ thị cho những con số, và từ đó, đến số học.
F
Traces of the very first stages in the development of numeration can be seen in several living languages today.
Dấu vết về giai đoạn sơ khởi trong quá trình phát triển số đếm có thể được nhìn thấy ở một vài ngôn ngữ vẫn còn hiện hành.
The numeration system of the Tsimshian language in British Columbia contains seven distinct sets of words for numbers according to the class of the item being counted: for counting flat objects and animals, for round objects and time, for people, for long objects and trees, for canoes, for measures, and for counting when no particular object is being numerated.
Hệ thống số đếm của ngôn ngữ Tsimshian ở British Columbia có bảy nhóm từ riêng biệt dùng để chỉ số tùy theo loại vật phẩm được đếm: dùng cho vật phẳng và động vật; vật hình tròn và thời gian; người; vật dài và cây cối; thuyền canoe; dùng trong phép đo lường và dùng để đếm vật thể không xác định.
It seems that the last is a later development while the first six groups show the relics of an older system.
Có vẻ như nhóm cuối cùng là sản phẩm phát triển sau này trong khi sáu nhóm đầu tiên là tàn dư của một hệ thống cổ xưa hơn.
This diversity of number names can also be found in some widely used languages such as Japanese.
Sự đa dạng về tên của các con số cũng có thể được tìm thấy trong một số ngôn ngữ phổ biến như tiếng Nhật.
G
Intermixed with the development of a number sense is the development of an ability to count.
Xen kẽ với sự phát triển của một số ý nghĩa là sự phát triển của một khả năng để đếm.
Counting is not directly related to the formation of a number concept because it is possible to count by matching the items being counted against a group of pebbles, grains of corn, or the counter's fingers.
Phép đếm không liên quan trực tiếp đến việc hình thành một khái niệm số vì có thể đếm bằng cách ghép các vật được đếm với một nhóm sỏi, hạt ngô hoặc ngón tay của người đếm.
These aids would have been indispensable to very early people who would have found the process impossible without some form of mechanical aid.
Các biện pháp hỗ trợ này chắc hẳn đã rất cần thiết cho loài người thuở sơ khai – những người đã nhận ra là không thể thực hiện quá trình đó mà không có một số dạng hỗ trợ cơ học.
Such aids, while different, are still used even by the most educated in today's society due to their convenience.
Những viện trợ như vậy, dù cho khác nhau, vẫn được sử dụng ngay cả bởi những người có trình độ học vấn cao nhất trong xã hội ngày nay bởi vì sự tiện lợi của họ.
All counting ultimately involves reference to something other than the things being counted.
Tất cả phép đếm cuối cùng liên quan đến một cái gì đó khác với những thứ được đếm.
At first it may have been grains or pebbles but now it is a memorised sequence of words that happen to be the names of the numbers.
Ban đầu nó có thể là ngũ cốc hoặc sỏi nhưng bây giờ nó là một chuỗi các từ được ghi nhớ mà vô tình là tên của các con số.
