A
Occasionally, in some difficult musical compositions, there are beautiful, but easy parts - parts so simple a beginner could play them.
Thỉnh thoảng, trong một số tác phẩm âm nhạc khó, có những phần hay, nhưng dễ - những phần rất đơn giản cho người mới bắt đầu có thể chơi.
So it is with mathematics as well.
Với toán học cũng vậy.
There are some discoveries in advanced mathematics that do not depend on specialized knowledge, not even on algebra, geometry, or trigonometry.
Có một vài phát hiện trong toán học nâng cao mà không phụ thuộc vào kiến thức chuyên môn, thậm chí vào đại số, hình học, hoặc lượng giác.
Instead they may involve, at most, a little arithmetic, such as ‘the sum of two odd numbers is even’, and common sense.
Thay vào đó, phần lớn có thể bao gồm một chút số học, chẳng hạn như 'tổng của hai số lẻ là số chẳn' và kiến thức thông thường.
Each of the eight chapters in this book illustrates this phenomenon.
Mỗi tám chương trong cuốn sách này minh hoạ cho hiện tượng này.
Anyone can understand every step in the reasoning.
Bất cứ ai cũng có thể hiểu từng bước để lập luận.
The thinking in each chapter uses at most only elementary arithmetic, and sometimes not even that.
Tư duy trong mỗi chương sử dụng hầu hết chỉ là số học cơ bản nhất, và đôi khi còn ít hơn.
Thus all readers will have the chance to participate in a mathematical experience, to appreciate the beauty of mathematics, and to become familiar with its logical, yet intuitive, style of thinking.
Như vậy tất cả độc giả sẽ có cơ hội tham gia vào một trải nghiệm toán học, thưởng thức vẻ đẹp của toán học, và dần trở nên quen thuộc với lối tư duy logic, nhưng trực quan của nó.
B
One of my purposes in writing this book is to give readers who haven’t had the opportunity to see and enjoy real mathematics the chance to appreciate the mathematical way of thinking.
Một trong những mục đích của tôi trong việc viết cuốn sách này để cung cấp cho những độc giả không có cơ hội xem và tận hưởng toán học thực sự, có cơ hội thấy rõ cách suy nghĩ toán học.
I want to reveal not only some of the fascinating discoveries, but, more importantly, the reasoning behind them.
Tôi muốn tiết lộ không chỉ một số nghiên cứu hấp dẫn, mà quan trọng hơn là lý do đằng sau chúng.
In that respect, this book differs from most books on mathematics written for the general public.
Trên phương diện đó, cuốn sách này khác với hầu hết các sách toán học được viết cho công chúng.
Some present the lives of colorful mathematicians.
Một số trình bày cuộc sống của các nhà toán học đầy màu sắc.
Others describe important applications of mathematics.
Số khác khác mô tả những ứng dụng quan trọng của toán học.
Yet others go into mathematical procedures, but assume that the reader is adept in using algebra.
Song, số khác đi vào các quy trình toán học, nhưng giả sử rằng người đọc giỏi sử dụng đại số.
C
I hope this book will help bridge that notorious gap that separates the two cultures: the humanities and the sciences, or should I say the right brain (intuitive) and the left brain (analytical, numerical).
Tôi hy vọng cuốn sách này sẽ giúp khắc phục thiếu xót hiển nhiên đó cái mà chia thành hai nền giáo dục: Những đặc tính con người và khoa học, hoặc tôi nên nói bộ não phải (trực giác) và não trái (phân tích, số).
As the chapters will illustrate, mathematics is not restricted to the analytical and numerical; intuition plays a significant role.
Như các chương sẽ minh hoạ, toán học không bị giới hạn trong phân tích và số; Trực giác đóng một vai trò quan trọng.
The alleged gap can be narrowed or completely overcome by anyone, in part because each of us is far from using the full capacity of either side of the brain.
Chỗ thiếu xót có thể được thu hẹp hoặc hoàn toàn vượt qua bởi bất cứ ai, một phần bởi vì mỗi người trong chúng ta không sử dụng hết khả năng cả hai bên não.
To illustrate our human potential, I cite a structural engineer who is an artist, an electrical engineer who is an opera singer, an opera singer who published mathematical research, and a mathematician who publishes short stories.
Để minh họa cho tiềm năng của loài người, tôi trích dẫn một kỹ sư kết cấu là một nghệ sĩ, một kỹ sư điện là một ca sĩ opera, một ca sĩ opera đã công bố nghiên cứu toán học và một nhà toán học xuất bản truyện ngắn.
D
Other scientists have written books to explain their fields to non-scientists, but have necessarily had to omit the mathematics, although it provides the foundation of their theories.
Các nhà khoa học khác đã viết những cuốc sách để giải thích lĩnh vực của họ cho những người không phải là nhà khoa học, nhưng nhất thiết phải bỏ qua toán học, mặc dù nó cung cấp nền tảng cho các lý thuyết của họ.
The reader must remain a tantalized spectator rather than an involved participant, since the appropriate language for describing the details in much of science is mathematics, whether the subject is expanding universe, subatomic particles, or chromosomes.
Người đọc chắc hẳn là một khán giả bị trêu đùa chứ không phải là một người tham gia đầy say mê, vì ngôn ngữ thích hợp để mô tả chi tiết trong phần lớn ngành khoa học là toán học, cho dù chủ đề này đang mở rộng vũ trụ, hạt hạ nguyên tử hay nhiễm sắc thể.
Though the broad outline of a scientific theory can be sketched intuitively, when a part of the physical universe is finally understood, its description often looks like a page in a mathematics text.
Mặc dù những điểm chính của học thuyết khoa học có thể được phác hoạ một cách trực giác, khi một phần của vũ trụ vật chất cuối cùng được hiểu, mô tả của nó thường giống như một trang trong một văn bản toán học.
E
Still, the non-mathematical reader can go far in understanding mathematical reasoning.
Tuy nhiên, người đọc không thuộc lĩnh vực toán học có thể đi xa trong việc am hiểu lý luận toán học.
This book presents the details that illustrate the mathematical style of thinking, which involves sustained, step-by-step analysis, experiments, and insights.
Cuốn sách này trình bày các chi tiết minh hoạ cho lối suy nghĩ toán học, bao gồm tính liên tục, phân tích từng bước một, các thí nghiệm, và sự hiểu biết sâu sắc.
You will turn these pages much more slowly than when reading a novel or a newspaper.
Bạn sẽ lật những trang này chậm hơn nhiều so với khi đọc một cuốn tiểu thuyết hay một tờ báo.
It may help to have a pencil and paper ready to check claims and carry out experiments.
Có sẵn bút chì và giấy có thể giúp kiểm tra những khẳng định và thực hiện các thí nghiệm.
F
As I wrote, I kept in mind two types of readers: those who enjoyed mathematics until they were turned off by an unpleasant episode, usually around fifth grade, and mathematics aficionados, who will find much that is new throughout the book.
Như tôi đã viết, tôi ghi nhớ hai loại độc giả: những người yêu thích toán học cho đến khi họ chán bởi một tập khó chịu, thường ở mức độ 5, và những người cuồng nhiệt toán học, những người sẽ tìm thấy nhiều điều mới mẻ trong cuốn sách.
This book also serves readers who simply want to sharpen their analytical skills.
Cuốn sách này cũng phục vụ những độc giả chỉ đơn giản muốn nâng cao kỹ năng phân tích.
Many careers, such as law and medicine, require extended, precise analysis.
Nhiều ngành nghề, chẳng hạn như luật pháp và y học, yêu cầu phân tích rộng và chính xác hơn.
Each chapter offers practice in following a sustained and closely argued line of thought.
Mỗi chương đề nghị thực hành theo một dòng suy nghĩ liên tục và được lý luận chặt chẽ.
G
That mathematics can develop this skill is shown by these two testimonials: A physician wrote, the discipline of analytical thought processes [in mathematics] prepared me extremely well for medical school.
Toán học có thể phát triển kỹ năng này được chỉ ra bởi 2 minh chứng: Một bác sĩ đã viết, sự rèn luyện các quá trình tư duy phân tích [trong toán học] trang bị cho tôi rất tốt cho trường y.
In medicine one is faced with a problem which must be thoroughly analyzed before a solution can be found.
Trong y học, người ta phải đối mặt với một vấn đề cần phải được phân tích kỹ lưỡng trước khi có giải pháp.
The process is similar to doing mathematics.
Quá trình này tương tự như toán học.
H
’ A lawyer made the same point, “Although I had no background in law - not even one political science course — I did well at one of the best law schools.
' Một luật sư cũng đưa ra cùng quan điểm: "Mặc dù tôi không có nền tảng pháp luật - thậm chí là một khoá học về chính trị - tôi đã học tốt ở một trong những trường luật tốt nhất.
I attribute much of my success there to having learned, through the study of mathematics, and, in particular, theorems, how to analyze complicated principles.
Tôi cho rằng phần lớn thành công của tôi nhờ vào học hỏi, thông qua nghiên cứu toán học, và đặc biệt là các định lý, làm thế nào để phân tích các nguyên tắc phức tạp.
Lawyers who have studied mathematics can master the legal principles in a way that most others cannot.
’ Các luật sư nghiên cứu toán học có thể làm chủ các nguyên tắc pháp luật theo cách mà đa số người khác không thể làm được.
I hope you will share my delight in watching as simple, even naive, questions lead to remarkable solutions and purely theoretical discoveries find unanticipated applications.
" Tôi hy vọng bạn sẽ chia sẻ niềm vui của tôi khi xem những ví dụ đơn giản, thậm chí ngây thơ, những câu hỏi dẫn đến những lý giải phi thường và những khám phá thuần lý thuyết tìm ra các ứng dụng đầy bất ngờ.
